Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE．

（1）證明DE∥CB；

（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

Answer 1

考點：

平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．

分析：

（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；

（2）當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°，再根據三角函數可推出AC=或AB=2AC．

解答：

（1）證明：連結CE．

∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，

∴CE=AB=AE．

∵△ACD是等邊三角形，

∴AD=CD．

在△ADE與△CDE中，，

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE=30°．

∵∠DCB=150°，

∴∠EDC+∠DCB=180°．

∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．

∴∠B=30°．

在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC．

∴當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．

點評：

此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握直角三角形的性質，以及等邊三角形的性質．