Question

3．如圖，四邊形ABCD中，AD=BC，P是四邊形ABCD外一點(diǎn)，且PA=PD，PB=PC，∠APB=∠DPC．
（1）求證：∠ABC=∠DCB；
（2）求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定定理SAS推知△ABP≌△DCP，根據(jù)該全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、等腰三角形的性質(zhì)推知∠ABC=∠DCB；
（2）由“有一內(nèi)角是直角的平行四邊形為矩形”證得結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ABP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD}\\{∠APB=∠DPC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DCP（SAS）．
∴∠ABP=∠DCP．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABP+∠PBC=∠DCP+∠PCB．
即∠ABC=∠DCB；

（2）證明：∵△ABP≌△DCP，
∴AB=CD．
∵AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC．
∴∠ABC+∠DCB=180°．
∵∠ABC=∠DCB，
∴2∠ABC=180°．即∠ABC=90°．
∴四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一內(nèi)角是直角的平行四邊形為矩形．