Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2$\sqrt{3}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)可知：∠OCD=90°，從而可知OC∥AD，由于OC=OA，從而可證明AC平分∠DAB；
（2）由于∠B=60°，所以∠CAB=30°，所以∠DAC=30°，從而可求出AD的長度．

解答 解：（1）連接OC，
∵CD與⊙O相切，
∴∠OCD=90°，
∵∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB，
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠CAO=30°，
由（1）可知：∠DAC=∠CAO=30°，
在Rt△ADC中，
tan30°=$\frac{CD}{AD}$，CD=2$\sqrt{3}$
∴AD=6

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及切線的性質(zhì)，角平分線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)等知識，綜合程度較高，屬于中等題型．