Question

3．觀察下列等式：
1³=1²
1³+2³=3²
1³+2³+3³=6²
1³+2³+3³+4³=10²…
（1）根據(jù)觀察得到規(guī)律寫(xiě)出：1³+2³+3³+4³+5³═225．
（2）根據(jù)觀察得到規(guī)律寫(xiě)出1³+2³+3³+4³+…+100³=5050²．
（3）1³+2³+3³+4³+5³+…+n³=[$\frac{n（1+n）}{2}$]²．

Answer 1

分析 （1）觀察數(shù)字規(guī)律可知，結(jié)果為一個(gè)完全平方數(shù)，其底數(shù)為1+2+3+4+5；
（2）觀察數(shù)字規(guī)律可知，結(jié)果為一個(gè)完全平方數(shù)，其底數(shù)為1+2+3+…+100；
（3）從1開(kāi)始，連續(xù)n個(gè)正整數(shù)的立方和，等于這n個(gè)正整數(shù)和的平方．

解答 解：（1）依題意，得1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=15²=225；

（2）依題意，得1³+2³+3³+…+100³=（1+2+3+…+100）²=[$\frac{100（1+100）}{2}$]²=5050²；

（3）一般規(guī)律為：1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²=[$\frac{n（1+n）}{2}$]²．
故答案為225；5050²；[$\frac{n（1+n）}{2}$]²．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出從1開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)的立方和等于這些數(shù)的和的平方是解題的關(guān)鍵．