Question

16．閱讀下面的材料：
如果函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意x₁，x₂，
（1）若x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱f（x）是增函數(shù)；
（2）若x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），則稱f（x）是減函數(shù)．
例題：證明函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$（x＞0）是減函數(shù)．
證明：假設(shè)x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$（x＞0）是減函數(shù)．
根據(jù)以上材料，解答下面的問題：
（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0），f（1）=$\frac{1}{{1}^{2}}$=1，f（2）=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
計(jì)算：f（3）=$\frac{1}{9}$，f（4）=$\frac{1}{16}$，猜想f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是減函數(shù)（填“增”或“減”）；
（2）請(qǐng)仿照材料中的例題證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意把x=3，x=4代入，再比較其大小即可；
（2）假設(shè)x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0，再作差比較即可．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0），f（1）=$\frac{1}{{1}^{2}}$=1，f（2）=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴f（3）=$\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{1}{9}$，f（4）=$\frac{1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{16}$，
∵$\frac{1}{9}$＞$\frac{1}{16}$，
∴猜想f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是減函數(shù)．
故答案為：$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{16}$，減；

（2）證明：假設(shè)x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$=$\frac{{（x}_{2}-{x}_{1}{）（x}_{2}+{x}_{1}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$，
∵x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，x₁²•x₂²＞0，
∴$\frac{{（x}_{2}-{x}_{1}）{（x}_{2}+{x}_{1}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題中所給出的材料假設(shè)出x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0，再比較出其大小即可．