Question

12．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點D，試說明：BF=2CD．

Answer 1

分析 作BE的中點E，連接AE、AD，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出AE=BE=EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE=∠DBC=22.5°，從而可以得出∠BAE=∠BAE=∠ACD=22.5°，∠AEF=45°，由∠BAC=90°，∠BDC=90°就可以得出A、B、C、D四點共圓，求出AD=DC，證△ADC≌△AEB推出BE=CD，從而得到結(jié)論．

解答 解：取BF的中點E，連接AE，AD，
∵∠BAC=90°，
∴AE=BE=EF，
∴∠ABD=∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四點共圓，
∴∠DAC=∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DAC=∠BAE，
∴∠EAD=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠DBC=22.5°，
∴∠AED=45°，
∴AE=AD，
在△ABE與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DAC}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD，
∴BF=2CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．