Question

19．已知⊙O的直徑CD為4，$\widehat{AC}$的度數(shù)為80°，點B是$\widehat{AC}$的中點，點P在直徑CD上移動，則BP+AP的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由翻折的性質(zhì)可知：PB=PB′.$\widehat{BC}=\widehat{B′C}$=40°，可求得∠B′EA=60°．當(dāng)點B′、P、A在一條直線上時，PB+PA有最小值，最小值為AB′．

解答 解：過點B關(guān)于CD的對稱點B′，連接AB′交CD于點P，延長AO交圓O與點E，連接B′E．

∵點B與點B′關(guān)于CD對稱，
∴PB=PB′.$\widehat{BC}=\widehat{B′C}$．
∴當(dāng)點B′、P、A在一條直線上時，PB+PA有最小值，最小值為AB′．
∵點B是$\widehat{AC}$的中點，
∴$\widehat{AB′}$=120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)，求得∠B′EA=60°是解題的關(guān)鍵．