Question

9．如圖，AB為⊙O的直徑，E是⊙O外一點，過點E作⊙O的兩條切線ED、EB，切點分別為點D，B，連接AD并延長交BE延長線于點C，連接OE．
（1）試判斷OE與AC的關(guān)系，并說明理由；
（2）填空：
①當(dāng)∠BAC=45°時，四邊形ODEB是正方形．
②當(dāng)∠BAC=30°時，$\frac{AD}{DE}$的值為4．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)，由DE是⊙O的切線得到∠ODE=90°，再利用“HL”證明Rt△ODE≌Rt△OBE，得到ED=EB，∠1=∠2，由三角形外角性質(zhì)得∠BOD=∠A+∠3，加上∠A=∠3，則∠2=∠4，于是可判斷OE∥AC；
（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED=EB，根據(jù)圓周角定理得到∠DOB=90°，于是得到結(jié)論；
②過O作OH⊥AD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠3=∠A=30°，得到OD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD，得到OD=$\sqrt{3}$DE，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解（1）OE∥AC，OE=$\frac{1}{2}$AC，
理由：連接OD，
∵DE，BE是圓O的切線，
∴OD⊥DE，AB⊥BC，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∵OD=OB，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL）
∴∠1=∠2，
∵∠BOD=∠A+∠3，OA=OD，
∴∠A=∠3，
∴∠2=∠A，
∴OE∥AC，∵OA=OB，∴EC=EB，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC，
（2）①∵Rt△ODE≌Rt△OBE，
∴ED=EB，
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOB=∠ODE=∠B=90°，
∴四邊形ODEB是正方形；
②過O作OH⊥AD于H，
∵∠A=30°，OA=OD，
∴∠3=∠A=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD，
∵∠ODE=90°，∠1=∠3=30°，
∴OD=$\sqrt{3}$DE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD=$\sqrt{3}$DE，
∵AD=nDE，
∴n=4．
故答案為：45°，4．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．