Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC平分∠DAB，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)CD，使得CD⊥AD于D．
（1）求證：直線(xiàn)CD與⊙O相切；
（2）若AD=3，AC=，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直線(xiàn)CD與⊙O相切于點(diǎn)C

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴．
分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線(xiàn)的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線(xiàn)CD與⊙O相切于C點(diǎn)；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)與判定，解題時(shí) 首先利用切線(xiàn)的判定證明切線(xiàn)，然后利用切線(xiàn)的想這已知條件證明三角形相似即可解決問(wèn)題．