Question

12．如圖，在坐標(biāo)系中，A（0，6），B（-2，0），C（3，0），∠BAC=45°，BD⊥AC，M（4，6），動點P從點M出發(fā)，沿x軸正方向，以每秒2個單位的長度運動t秒
（1）求D點坐標(biāo)；
（2）連接PA、PE，設(shè)△PDE的面積為S，用t的代數(shù)式表示S；
（3）過點P作直線PF垂直于直線AC，垂足為F，在點P的運動過程中，是否存在這樣的點P，使△PCF與△AED全等？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的解析式y(tǒng)=-2x+6，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)點D在直線AC上得出縱坐標(biāo)-2x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理得出x=2，從而得出點D坐標(biāo)為（2，2）；
（2）先證明△BOE∽△BEQ，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得OE=1，根據(jù)S=S_△PBD-S_△PBE，得出S與t的關(guān)系式；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)A、B、D、C、E的坐標(biāo)可得，DC=DE，AD=BD，即可證明△ADE≌△BDC，得出∠AED=∠BCD=∠PCF，得AE的長度，當(dāng)CP=AE=5時，利用AAS證明△PCE≌△AED，即可得出時間t．

解答 解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（0，6），C（3，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-2x+6，
設(shè)點D的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為：-2x+6，
∵BD⊥AC，
∴AD²+BD²=AB²，
∴[6-（-2x+6）]²+x²+（x+2）²+（-2x+6）²=2²+6²，
解得x₁=0（不合題意，舍去），x₂=2，
當(dāng)x=2時，y=-2×2+6=2，
∴點D坐標(biāo)為（2，2）；
（2）易得：△BOE∽△BEQ，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得OE=1，
∴S=S_△PBD-S_△PBE=$\frac{1}{2}$（6+2t）×2-$\frac{1}{2}$（6+2t）×1=3t；
（3）存在，
根據(jù)ABDCE的坐標(biāo)可得，DC=DE=$\sqrt{5}$，AD=BD=2$\sqrt{5}$，
∴△ADE≌△BDC，∴∠AED=∠BCD=∠PCF，
易得AE=5，
∴當(dāng)CP=AE=5時，△PCE≌△AED（AAS），
即MP=4時，t=4÷2=2s．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，涉及到的知識點有：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的全等、相似，是一道綜合性的題目，中考的常見題型，難度不大．