Question

    如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) (為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(，0)，與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線  ( 為常數(shù)，且≠0)經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

   （1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

   （2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

  （3）若P是拋物線對(duì)稱軸上使△ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ，兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫出探究過(guò)程．

 

Answer 1

【答案】

（1）m=,

(2).

(3)定值1

【解析】（1）首先求得m的值和直線的解析式，根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式；

（2）存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點(diǎn)有兩個(gè)，不要漏解；

（3）本問(wèn)較為復(fù)雜，分幾個(gè)步驟解決：

第1步：確定何時(shí)△ACP的周長(zhǎng)最�。�利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解決；

第2步：確定P點(diǎn)坐標(biāo)P（1，3），從而直線M₁M₂的解析式可以表示為y=kx+3-k；

第3步：利用根與系數(shù)關(guān)系求得M₁、M₂兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計(jì)算做準(zhǔn)備；

第4步：利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別求得線段M₁M₂、M₁P和M₂P的長(zhǎng)度，相互比較即可得到結(jié)論：M₁P•M₂P/M₁M₂ =1為定值．這一步涉及大量的運(yùn)算，注意不要出錯(cuò)，否則難以得出最后的結(jié)論