Question

15．如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，且AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD），若∠D=115°，則∠B=65°．

Answer 1

分析 作CH⊥AD于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得CH=CE，則利用“HL”可證明Rt△ACH≌Rt△ACE，得到AE=AH，再證明DH=BE，則可根據(jù)“SAS”證明∠CDH=∠B，而利用互補(bǔ)可計(jì)算出∠CDH的度數(shù)，從而得到∠B的度數(shù)．

解答 解：作CH⊥AD于H，如圖，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CH=CE，
在Rt△ACH和Rt△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CH=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACH≌Rt△ACE，
∴AE=AH，
∵AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD），
∴AH=$\frac{1}{2}$（AE+BE+AD），即AH=BE+AD，
∴DH=BE，
在△CHD和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CE}\\{∠CHD=∠CEB}\\{DH=BE}\end{array}\right.$，
∴∠CDH=∠B，
而∠CDH=180°-∠ADC=180°-115°=65°，
∴∠B=65°．
故答案為65°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．