Question

7．觀察下面各式：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²
2²+（2×2）²+3²=（2×3+1）²
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²
…
（1）寫出第2005個(gè)式子；
（2）寫出第n個(gè)式子，并說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）仿照已知式子得出第2015個(gè)式子即可；
（2）以此類推得出第n個(gè)式子即可，進(jìn)一步計(jì)算驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²；
當(dāng)n=2時(shí)，2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²；
當(dāng)n=3時(shí)，3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²；
…
第2005個(gè)式子即當(dāng)n=2005時(shí)，有
2005²+（2005×2006）²+2006²=（2005×2006+1）²．
（2）第n個(gè)式子為n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²．證明如下：
∵n²+[n（n+1）]²+（n+1）²
=n²+n²（n+1）²+（n²+2n+1）
=n²+n²（n²+2n+1）+（n²+2n+1）
=n²+n⁴+2n³+n²+n²+2n+1
=n⁴+2n³+3n²+2n+1，
且[n（n+1）+1]²
=[n（n+1）²]+2[n（n+1）]•1+1²
=n²（n+1）²+2n（n+1）+1
=n²（n²+2n+1）+2n²+2n+1
=n⁴+2n³+n²+2n²+2n+1
=n⁴+2n³+3n²+2n+1，
∴n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²．

點(diǎn)評 此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．