Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥AC于點(diǎn)F，求證：AC²=2EF²．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC=45°，再判斷出△AEF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列式整理即可得證．

解答：證明：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∴AE=AC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE²=EF²+AF²=2EF²，
∴AC²=2EF²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并判斷出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．