Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax²+bx過(guò)A、C兩點(diǎn).   

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E

①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長(zhǎng)?

②連接EQ．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△CEQ是等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的t值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）           

將A (4,8)、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx

              得8=16a+4b

                0=64a+8b

        解得a=,b=4

∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x        

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=

∴PE=AP=t．PB=8-t．

∴點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)為（4+t，8-t）.

    ∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：-（4+t）²+4(4+t）=-t²+8.  

∴EG=-t²+8-(8-t)

    =-t²+t.

∵-＜0，∴當(dāng)t=4時(shí)，線段EG最長(zhǎng)為2.       

②共有三個(gè)時(shí)刻：t₁=，  t₂=，t₃= ．               

【解析】（1）根據(jù)題意即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，EG的長(zhǎng)等于點(diǎn)G的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，得到一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征即可求得結(jié)果；②考慮腰和底，分情況討論。