Question

如圖，已知四邊形ABCD，∠B=∠C=90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD=90°．
（1）求證：△ABP∽△PCD；
（2）若BC=10，CD=3，PD=3

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，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠BAP=∠CPD，∠B=∠C=90，即可解決問題．
（2）首先求出PC的長度；借助（1）中的△ABP∽△PCD，列出比例式即可解決問題．

解答：（1）證明：∵∠APD=90°，
∠APB+∠APD+∠CPD=180°                       
∴∠APB+∠CPD=180°-∠APD=180°-90⁰=90⁰；
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCD．
（2）解：由勾股定理得：
PC²=PD²-CD²=(3

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)2-32，
∴PC=6，PB=10-6=4；
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴AB：PC=BP：CD，
∵BC=10，CD=3，PC=6，
∴AB：6=4：3，
∴AB=8．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察、大膽猜測(cè)、嚴(yán)格推理、科學(xué)論證．