Question

如圖，已知直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）。

⑴求該拋物線的解析式；
⑵動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。
⑶在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入 得，解得 ∴拋物線的解折式為； （2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為， 即E點(diǎn)的坐標(biāo)（） 又∵點(diǎn)E在直線上 ∴解得（舍去），， ∴E的坐標(biāo)為（4，3）； （Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)， 過A作AP1⊥DE交x軸于P1點(diǎn)， 設(shè)P1（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0） 由Rt△AOD∽R(shí)t△POA得即， ∴a=， ∴P1（，0）； （Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）； （Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（b、3） 由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP， Rt△AOP∽R(shí)t△PFE 由得，解得， ∴此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0） 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）； （Ⅲ）拋物線的對(duì)稱軸為， ∵B、C關(guān)于對(duì)稱， ∴MC=MB， 要使最大，即是使最大， 由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)的值最大， 易知直線AB的解折式為y=-x+1， ∴由得， ∴M。