Question

如圖，矩形ABCD中，AB長為6厘米，BC長為12厘米，點P從點A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動．P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，點P的運動時間為t秒，點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動．
（1）用含t的代數(shù)式表示PB的長．
（2）當△PBQ的面積等于9平方厘米時，求t的值．
（3）連結AC，當△PBQ與△ABC相似時，求t的值．
（4）連結BD交PQ于E，直接寫出△PBQ與△PBE相似時t的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得PA=t，則可用含t的代數(shù)式表示PB的長．
（2）首先根據(jù)題意表示出PB與BQ的長，繼而由△PBQ的面積等于9平方厘米，可求得t的值．
（3）分別從當△PBQ∽△ABC時與當△PBQ∽△CBA時，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（4）易得△PBQ∽△PEB，可得BE⊥BD，即可得△PEB∽△DAB，繼而證得△PBQ∽△DAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答：解：（1）∵點P的運動時間為t秒，點P從點A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，
∴PA=t（cm），
∴PB=AB-PA=6-t（cm）；

（2）∵BQ=2t（cm），PB=（6-t）cm，
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

×（6-t）×2t=9，
解得：t₁=t₂=3；

（3）∵當△PBQ∽△ABC時，

PB

AB

=

BQ

BC

，
即

6-t

6

=

2t

12

，t=3；
當△PBQ∽△CBA時，

PB

BC

=

BQ

AB

，
即

6-t

12

=

2t

6

，t=

6

5

；
∴當△PBQ與△ABC相似時，t的值為：3或

6

5

．

（4）∵∠BPQ是公共角，∠PBE=∠PBQ，
∴△PBQ∽△PEB，
∴BE⊥BD，
∴△PEB∽△DAB，
∴△PBQ∽△DAB，
∴

PB

AD

=

BQ

AB

，
即

6-t

12

=

2t

6

，t=

6

5

．
∴△PBQ與△PBE相似時t的值為：

6

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及矩形的性質．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用．