Question

圓O中，弦AB=AC，AD是圓O的直徑．求證：AD平分∠BAC．

Answer 1

證明：方法1：過O點分別作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖，
∴OE，OF分別為弦AB，AC的弦心距，
∵弦AB=AC，
∴OE=OF，
∴∠1=∠2，
即AD平分∠BAC．
方法2：本題也可以通過連接OB，OC，得△AOC≌△AOB（sss），得∠COA=∠BAD，即AD平分∠BAC．
方法3：本題也可以通過連接BD，CD，得RT△ABD≌RT△AOB（HL），得∠COA=∠BAD，即AD平分∠BAC．
分析：過O點分別作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．由AB=AC，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弦所應的弦的弦心距相等得到OE=OF，再利用角平分線的性質(zhì)，得到∠1=∠2．
點評：本題考查了垂徑定理，弦、弦心距間的關(guān)系以及角平分線的性質(zhì)，此類問題常常過圓心作弦的垂線，即作出弦心距，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．