Question

問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個用足夠長的的細鐵絲制作的直角的頂點D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點。

問題探究：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，

①如圖2，當AD＝BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

②如圖3，當AD＝2BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當AD＝nBD時，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為_______________（直接寫出結(jié)論，不必證明）

（2）當AD＝BD時，若AB＝20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由。

圖1 圖2 圖3

 

Answer 1

（1）① DP=DQ ②DP=2DQ ③DP=nDQ （2）當DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值， 當點P與點A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，

【解析】

試題分析：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值求出等知識，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．

（1）①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；

②首先得出△DPM∽△DQN，則 ，求出△AMD∽△BND，進而得出答案.

③根據(jù)已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，則 ，則AD=nBD，求出即可；

（2）當DP⊥AC時，x最小，最小值是5 .此時，S有最小值；當點P與點A重合時，x最大，最大值為10，分別求出即可．

試題解析：（1）①DP＝DQ

理由：連接CD，

∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ.

② DP= 2DQ 。

理由：如圖，過點D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分別為M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ，

∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN=DP:DQ 。

∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，

∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN。

∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1，

∴DP=2DQ。

③DP=NQ。

（2）存在，設(shè)DQ=x，由（1）①知DP=x，

∴S=1／2xx=1／2x2

，

當DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，

當點P與點A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，

考點：幾何變換綜合題．