Question

19．已知，如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為線段AB上一動點（不與點A、點B重合），先將矩形ABCD沿CE折疊，使點B落在點F處，CF交AD于點H．
（1）求證：△AEG∽△DHC；
（2）若折疊過程中，CF與AD的交點H恰好是AD的中點時，求tan∠BEC的值；
（3）若折疊后，點B的對應(yīng)F落在矩形ABCD的對稱軸上，求此時AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=4，AD=BC=6，∠A=∠B=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠F=∠B=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEG=∠DHC，于是得到結(jié)論；
（2）由點H是AD的中點，得到AH=DH=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=$\frac{5}{3}$，得到AG=AD-GH-DH=$\frac{4}{3}$，BE=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）分兩種情況考慮：F在橫對稱軸上與F在豎對稱軸上，分別求出BF的長即可．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，∠A=∠B=∠D=90°，
∵將矩形ABCD沿CE折疊，使點B落在點F處，
∴∠F=∠B=90°，
∵∠AGE=∠FGH，∠FHG=∠DHC，
∵∠FGH+∠FHG=90°，
∴∠AGE+∠DHC=90°，
∵∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠AEG=∠DHC，
∴△AEG∽△DHC；
（2）∵點H是AD的中點，
∴AH=DH=3，
∵CD=4，
∴CH=5，F(xiàn)H=1，
∵∠F=∠D=90°，∠FHG=∠DHC，
∴△FHG∽△DHC，
∴$\frac{FH}{DH}$=$\frac{GH}{CH}$，
∴GH=$\frac{5}{3}$，
∴AG=AD-GH-DH=$\frac{4}{3}$，
∵△AEG∽△DHC，
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{DH}$，
∴AE=1，
∴BE=2，
∴tan∠BEC=$\frac{BC}{BE}=\frac{6}{2}$=3；
（3）當F在橫對稱軸MN上，如圖2所示，此時CN=$\frac{1}{2}$CD=2，CF=BC=6，
∴FN=$\sqrt{C{F}^{2}-C{N}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴MF=6-4$\sqrt{2}$，
由折疊得，EF=BE，EM=2-BE，
∴EM²+MF²=EF²，
即（2-BE）²+（6-4$\sqrt{2}$）²=BE²，
∴BE=18-12$\sqrt{2}$，
∴AE=12$\sqrt{2}$-12；

當F在豎對稱軸MN上時，如圖3所示，此時AB∥MN∥CD，
∴∠BEC=∠FOE，
∵∠BEC=∠FEC，
∴∠FEC=∠FOE，
∴EF=OF，
由折疊的性質(zhì)得，BE=EF，∠EFC=∠B=90°，
∵BN=CN，
∴OC=OE，
∴FO=OE，
∴△EFO是等邊三角形，
∴∠FEC=60°，
∴∠BEC=60°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴AE=6-2$\sqrt{3}$．
綜上所述，點B的對應(yīng)F落在矩形ABCD的對稱軸上，此時AE的長是12$\sqrt{2}$-12或6-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，注意分兩種情況解答此題．