Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的長．

Answer 1

(1)證明：連接OA．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．

∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切線

(2)解：∵BD是直徑，∴∠BCD=∠BAD=90°．∴∠DBC=30°，∴∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°，∴∠ABD=∠EAD=30°．

在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．

在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．

∵DE的長是l cm，∴BD的長是4 cm．