Question

16．如圖，長為10的線段AB的端點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上滑動（線段AB的長保持不變），⊙O與線段AB相切，則⊙O面積的最大值是（　�。�

• A． 100π
• B． 25π
• C． 22π
• D． 20π

Answer 1

分析 過O作OC⊥AB于C，設(shè)A（a，0），B（0，b），由⊙O與線段AB相切，確定OC=⊙O的半徑r，根據(jù)a²+b²-2ab≥0，得到$ab≤\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，當(dāng)ab=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$時(shí)，r=$\frac{ab}{10}$最大，即r_最大=$\frac{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}{10}$=5時(shí)，即可得到S_最大=πr²=25π．

解答 解：過O作OC⊥AB于C，
設(shè)A（a，0），B（0，b），
∵⊙O與線段AB相切，
∴OC=⊙O的半徑r，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OB=\frac{1}{2}AB•OC$，
∴r=$\frac{ab}{10}$，
∵a²+b²-2ab≥0，
∴$ab≤\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，
∴當(dāng)ab=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$時(shí)，
r=$\frac{ab}{10}$最大，
即r_最大=$\frac{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}{10}$=5時(shí)，
S_最大=πr²=25π，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，圓的面積，最大值問題，解答本題的關(guān)鍵是利用a²+b²-2ab≥0，這一重要不等關(guān)系．