Question

如圖所示，△ABC內接于圓O，AB是直徑，過A作射線AM，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：AM是圓O的切線；
（2）設D是弧AC的中點，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．若AE=2，圓O的半徑為5，求cos∠AFE；
（3）設D是弧AC的中點，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．連接BD交AC于G，若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴AM是⊙O的切線，

（2）連接OD，
∵D是弧AC的中點，
∴OD⊥AC，
∵DE⊥AB，
∴∠EAF=∠EDO，
∵∠EAF+∠AFE=90°，
∴cos∠AFE=sin∠EAF，
∴cos∠AFE=sin∠EDO，
∵OD=5，AE=2，
∴OE=3，
∴sin∠EDO=，
∴cos∠AFE=，


（3）作FH⊥DG與H點，
∵S_△DFG=4.5，DG=3，
∴FH=3，
∵∠ACB=90°，∠HGF=∠CGB，
∴△HGF∽△CGB，
∴，
∵D是弧AC的中點，
∴∠CBD=∠DBA，
∵DE⊥AB，
∴∠DBA+∠EDB=90°，
∴∠CBD+∠EDB=90°，
∵∠CBD+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，
∴∠CGB=∠DGF，
∴∠EDB=∠DGF，
∴△FDG為等腰三角形，
∵FH⊥DG，
∴HG=DG=1.5，
∵CG=4，
∵，
∴，
∴BC=8，
∴S_△BCG=4×8×=16．
分析：（1）根據直角三角形的性質可推出∠MAC+∠CAB=90°，然后切線的判定定理即可推出結論，（2）連接OD，由垂徑定理可得OD⊥AC，再由∠EAF+∠AFE=90°，得cos∠AFE=sin∠EAF，然后通過推出∠EAF=∠EDO，可知cos∠AFE=sin∠EDO，求出sin∠EDO即可，（3）作FH⊥DG與H點，由△DFG的面積推出FH的長度，由D是弧AC的中點，可得∠CBD=∠DBA，再由DE⊥AB，推出∠EDB=∠DGF，可得△FDG為等腰三角形，由FH⊥DG，求出HG=DG=1.5，通過求證△HGF和△CGB相似，根據對應邊成比例，即可推出BC的長度，便可求出結果．
點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質、切線的判定與性質、圓周角定理、銳角三角函數的定義與性質，關鍵在于熟練掌握運用相關的性質定理、正確地作出輔助線，認真地根據相關性質定理推出相關線段的長度、角的相等關系．