Question

（本題滿分7分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點．

（1）求證：AC2＝AB·AD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD＝4， AB＝6，求的值．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=AB•AD；

（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．

試題解析：（1）∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；

（2）∵E為AB的中點，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；

（3）∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，

∵AD=4，∴，∴．

考點：1．相似三角形的判定與性質；2．直角三角形斜邊上的中線．