Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=8．點D在邊AB上（點D不與點A、B重合），連接CD，作∠CDE=45°，DE與邊BC交于點E．
（1）求證：△CAD∽△DBE．
（2）當(dāng)AD=2時，求CE的長．
（3）當(dāng)△CDE為等腰三角形時，直接寫出DB的長．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，可求得∠A=∠B=45°，又由∠CDE=45°，利用平角與三角形內(nèi)角和定理，求得∠ADC=∠DEB，繼而證得：△CAD∽△DBE；
（2）由AD=2，可求得BD的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)，可求得CA與CB的長，然后由△CAD∽△DBE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得CE的長；
（3）分別從CD=DE與CE=DE去分析求解即可求得答案．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
又∵∠ADC=180°-45°-∠EDB，∠DEB=180°-45°-∠EDB，
∴∠ADC=∠DEB，
∴△CAD∽△DBE；

（2）解：∵∠ACB=90°，CA=CB，AB=8．
∴CA=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，DB=AB-AD=8-2=6，
又∵△CAD∽△DBE，
∴$\frac{CA}{DB}=\frac{AD}{BE}$．
即$\frac{{4\sqrt{2}}}{6}=\frac{2}{BE}$，
∴$BE=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$CE=CB-BE=4\sqrt{2}-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$；

（3）解：∵∠DCE＜ACB，
∴CD≠CE，
當(dāng)CD=DE時，
∵△CAD∽△DBE，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=1，
∴DB=AC=4$\sqrt{2}$；
如圖，當(dāng)DE=CE時，∠ECD=∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ECD=45°，
∵AC=BC，
∴DB=AD=$\frac{1}{2}$AB=4．
∴當(dāng)△CDE為等腰三角形時，DB=4$\sqrt{2}$或4．

點評 此題屬于相似三角形的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．