Question

如圖，已知拋物線E：y=x²-4的圖象與直線l：y=-2交于A、C兩點，B為拋物線y=x²-4的頂點，拋物線F與E關于x軸對稱．
（1）求拋物線F的關系式；
（2）x軸下方的F上是否存在一點D，使以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將拋物線E的關系式改為y=ax²+c（a＞0，c≠0），直線l的關系式改為y=-

c

2

，試探索問題（2）．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）利用關于x軸對稱的兩點橫坐標不變，縱坐標互為相反數解答即可；
（2）先由拋物線E的解析式為y=x²-4，求出A，C，B三點的坐標，得到AC=2

2

，再根據平行四邊形的性質，得出當D點在x軸下方時，D點坐標為（-2

2

，-4）或（2

2

，-4），再把這兩個點代入拋物線F的解析式中，發(fā)現這兩個點滿足F的解析式，從而得出所求點D的坐標；
（3）把E的解析式系數用a代替，借助參數a來求證這兩個點．方法跟前面一樣．

解答：解：（1）∵拋物線F與E關于x軸對稱，拋物線E的解析式為y=x²-4，
∴拋物線F的解析式為-y=x²-4，即y=-x²+4；

（2）存在點D，而且還是兩個．
將y=-2代入y=x²-4，得x²-4=-2，
解得x=±

2

，
所以A點坐標為（-

2

，-2），C點坐標為（

2

，-2），
拋物線y=x²-4的頂點B的坐標為（0，-4），
所以AC=2

2

，
所以在x軸下方，當D點坐標為（-2

2

，-4）或（2

2

，-4）時，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
將（-2

2

，-4）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-x²+4，得左邊=-4，右邊=-（-2

2

）²+4=-4，左邊=右邊，點（-2

2

，-4）在拋物線F上，
同理，將（2

2

，-4）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-x²+4，得左邊=-4，右邊=-（2

2

）²+4=-4，左邊=右邊，點（2

2

，-4）在拋物線F上．
綜上所述，所求點D的坐標為（-2

2

，-4）或（2

2

，-4）；

（3）不存在點D，理由如下：
如圖，將y=-

c

2

代入y=ax²+c，得ax²+c=-

c

2

，
整理，得x²=-

3c

2a

，
∵a＞0，c≠0，
∴c＞0時原方程無解，點D不存在；
c＜0時，解得x=±

-6ac

2a

，此時A點坐標為（-

-6ac

2a

，-

c

2

），C點坐標為（

-6ac

2a

，-

c

2

），A，C兩點均在x軸上方．
拋物線E：y=ax²+c的頂點B的坐標為（0，c），B在x軸下方，拋物線F的解析式為y=-ax²-c．
∵AC=

-6ac

a

，
∴在x軸下方，當D點坐標為（-

-6ac

a

，c）或（

-6ac

a

，c）時，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
將（-

-6ac

a

，c）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-ax²-c，得左邊=c，右邊=-a（-

-6ac

a

）²-c=5c，左邊≠右邊，點（-

-6ac

a

，c）不在拋物線F上，
同理，將（

-6ac

a

，c）代入拋物線F的解析式y(tǒng)=-ax²-c，得左邊=c，右邊=-a（

-6ac

a

）²-c=5c，左邊≠右邊，點（

-6ac

a

，c）不在拋物線F上．
綜上所述，所求點D的坐標不存在．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，綜合性較強，難度適中．運用數形結合是解題的關鍵．