Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的點(diǎn)，PA切于⊙O于點(diǎn)A,PA=PC,∠BAC=30°，

（1）求證：PC是⊙O的切線;

（2）若⊙O的半徑為1，求PC的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析; （2）．

【解析】

試題分析：（1）連接PO，OC，根據(jù)SSS證△PAO≌△PCO，推出∠PCO=∠PAO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可;

（2）連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠ACB=90°，結(jié)合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=．最后在等邊△PAC中，可得PA=AC=．

試題解析：（1）如圖,連接OC、OP，

∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°.

在△PAO和△PCO中, OA＝OC, OP＝OP, PA＝PC,

∴△PAO≌△PCO（SSS）. ∴∠PCO=∠PAO=90°.

∵OC為半徑，∴PC是⊙O的切線．

（2）如圖，連接BC，

∵AB是直徑，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，

可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=.

∵∠PAC=90°-30°=60°，PA=PC，∴△PAC是等邊三角形. ∴PA=AC=.

．

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)定理;2.切線長(zhǎng)定理;3.圓周角定理;4.等邊三角形的判定和性質(zhì);5.解直角三角形.