Question

3．如圖，ABCD是正方形，點G是BC上一動點（不與點B、C重合），DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．
探究：（1）如圖1，點G在邊BC上時，猜測AF、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
探究：（2）如圖2，點G在BC的延長線上時，（1）中AF、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，不要證明；如果不成立，請寫出AF、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
再探究：（3）如圖3，點G在CB的延長線上，AF、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣？請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得DA=AB，然后證明∠BAF=∠ADE，進而可△ADE和△ABF全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BF=AE，AF=DE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系以及等量代換可得AF-BF=EF；
（2）首先證明△ADE和△ABF全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BF=AE，然后可得BF-AF=EF；
（3）方法同（1）還是說明△ADE和△ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不過本題的結(jié)論是EF=AF+BF．

解答 解：（1）如圖1，AF-BF=EF；
∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴AF-BF=EF．

（2）如圖2，BF-AF=EF；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵BF⊥AG，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAF=∠ABF，
∵DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，
∴∠AFB=∠AED=90°，
在△ADE和△ABF中$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA}\\{∠DAF=∠ABF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（AAS），
∴AE=BF，
∵AE-AF=EF，
∴BF-AF=EF；

（3）解：如圖3，EF=AF+BF．
∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，
∴EF=AF+BF．

點評 此題主要考查了四邊形綜合題，正方形的性質(zhì)和垂直的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．