Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為（4，-1），與y軸交于點C（0，3），O是原點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設此拋物線與x軸的交點為A，B（A在B的左邊），問在y軸上是否存在點P，使以O，B，P為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）可設y=a（x-4）²-1，（2分）
∵交y軸于點C（0，3），
∴3=16a-1，（3分）
∴a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

（x-4）²-1，
即∴y=

1

4

x²-2x+3．（4分）

（2）存在．（5分）
當y=0，則

1

4

（x-4）²-1=0，
∴x₁=2，x₂=6，（6分）
∴A（2，0），B（6，0），
設P（0，m），則OP=|m|在△AOC與△BOP中，
①若∠OCA=∠OBP，則△BOP∽△COA，
∴

OB

OC

=

OP

OA

，OP=

6×2

3

=4，
∴m=±4；（7分）
②若∠OCA=∠OPB，則△BOP∽△AOC，
∴

OP

OC

=

OB

OA

，OP=

6×3

2

=9，
∴m=±9，（7分）
∴存在符合題意的點P，其坐標為（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．（10分）