Question

13．如圖，?ABCD中，G是CD的中點，E是邊長AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線相交于點F，連接CE，DF．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形．
（2）填空：若AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，則①當AE=$\frac{7}{2}$時，四邊形CEDF是矩形；②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）只要證明△FCG≌△EDG，可得FG=EG，結(jié)合CG=GD即可證明；
（2））①如圖四邊形CEDF是矩形時，在Rt△CDF中，CD=AB=3，∠DCF=60°，∠CFD=90°，易知CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$．由ED=CF=$\frac{3}{2}$，即可推出AE=AD-DE=$\frac{7}{2}$；
②如圖四邊形CEDF是菱形時，易知△CDF，△CDE都是等邊三角形，推出DE=CD=AB=3，可得AE=AD-ED=5-3=2；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，∠CFG=∠DEG，又CG=DG．
∴△FCG≌△EDG，
∴FG=EG．   
∴四邊形CEDF是平行四邊形．
（2）①如圖四邊形CEDF是矩形時，在Rt△CDF中，CD=AB=3，∠DCF=60°，∠CFD=90°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$．
∵ED=CF=$\frac{3}{2}$，
∴AE=AD-DE=$\frac{7}{2}$


②如圖四邊形CEDF是菱形時，易知△CDF，△CDE都是等邊三角形，
∴DE=CD=AB=3，
∴AE=AD-ED=5-3=2．

故答案為$\frac{7}{2}$，2．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．