Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，邊長為4的等邊△DEF沿射線AC運動（A、D、E、C四點共線），使邊DF、EF與邊AB分別相交于點M、N（M、N不與A、B重合）．
（1）求證：△ADM是等腰三角形；
（2）設AD=x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）是否存在一個以M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時相切？如果存在，請求出圓的半徑；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：

∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA，
∴△ADM是等腰三角形．

（2）解：∵△ADM是等腰三角形，

∴DM=AD=x，F(xiàn)M=4-x，
又∵∠FED=60°，∠A=30°，
∴∠FNM=90°，
∴MN=MF•sinF=（4-x）•=（4-x），
FN=MF=（4-x）．
y=S_△FMN=MN•FN=•（4-x）•（4-x）=（4-x）²．
當0＜x≤2時，
y=S_{四邊形DENM}=S_△FDE-S_△FMN=4-=-+x+2．
當2≤x＜4時，

CD=6-x，
∵∠BCE=90°，∠PDC=60°，
∴PC=（6-x）．
∴y=S_△PCD=•（6-x）•（6-x）=（6-x）²．

（3）過點M作MG⊥AC于點G，由（2）得DM=x

∵∠MDG=60°，
∴MG=
∴∠MNF=90°
∴MN⊥FC
要使以點M為圓心，MN長為半徑的圓與邊AC、EF相切，
則有MG=MN
即：
解得x=2．
圓的半徑MN=．
（注：如果學生有不同的解題方法，只要正確，可參考評分標準，酌情給分．）
分析：（1）本題主要通過等角對等邊來解決的．
（2）此題的關鍵是通過解直角三角形求出直角△FMN的MN和FN（用含X的表達式表示出來），從而得出△FMN的面積，再用△FDE的面積減△FMN得面積就得出了Y的面積表達式．注意兩種情況．
（3）此題主要通過找出一個簡單的等量關系列出方程從而解決問題．
點評：本題主要考查學生對切線的性質(zhì)，解直角三角形及二次函數(shù)等綜合知識的理解掌握及運用的程度．解題的關鍵是運用數(shù)形結(jié)合的方法，理解題意，將形的問題利用代數(shù)方法去解決．