Question

9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
求證：（1）△AEH≌△CGF；
（2）四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）易證四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分線，易得∠HEG=∠FEG，根據(jù)等量代換可得∠HEG=∠HGE，從而有HE=HG，易證四邊形EFGH是菱形．

解答 （1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
在△AEH與△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AH=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）解：∵在ABCD中∠B=∠D，且AB=CD  AD=BC
又∵AE=CG  AH=CF，
∴BE=DG  DH=BF，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG=EF
又∵HE=GF
∴四邊形EFGH是平行四邊形
又∵EG平分∠HEF，
∴∠1=∠2
又∵HG∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴HE=HG，
∴EFGH是菱形；

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．