Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點，滿足∠EAF=45°，若AB=

72

，BE=3，求EF和CF的長．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：將△ABE繞點A順時針旋轉90°得△ACG，根據(jù)旋轉的性質得AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，根據(jù)勾股定理有FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；再根據(jù)∠EAF=45°，易證得△AGF≌△AEF，則有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，進而在求出BC的長，即可得出利用勾股定理求出EF，CF的長．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴將△ABE繞點A順時針旋轉90°得△ACG，
連FG，如圖，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°=45°，
在△AGF和△AEF中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF²=BE²+FC²，
∵AB=

72

，BE=3，AB=AC，
∴BC=

72+72

=12，
∴EC=9，設FC=x，則EF=9-x，
∴（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，則EF=5，
即EF的長為5，CF的長為4．

點評：本題考查了勾股定理以及三角形全等的判定與性質、旋轉的性質，得出△AGF≌△AEF是解題關鍵．