Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別平行x軸、y軸的兩直線a、b相交于點A（3，4）．連接OA，求：
（1）線段OA的長為______；
（2）若在直線a上存在點P，使△AOP是等腰三角形．那么所有滿足條件的點P的坐標(biāo)是______．

Answer 1

解：（1）∵點A（3，4），
∴OA==5；

（2）如圖，若AP=OA，
則點P的坐標(biāo)為：（8，4）或（-2，4），
若AP=OP，設(shè)點P的坐標(biāo)為：（x，4），
則（x-3）²=x²+4²，
解得：x=-，
∴點P的坐標(biāo)為（-，4）；
若OA=OP，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，4），
則x²+4²=5²，
解得：x=±3，
∴點P的坐標(biāo)為：（-3，4）；
∴所有滿足條件的點P的坐標(biāo)是：（8，4）或（-2，4）或（-，4）或（-3，4）．
故答案為：（1）5；（2）（8，4）或（-2，4）或（-，4）或（-3，4）．
分析：（1）由點A（3，4），利用勾股定理，即可求得線段OA的長；
（2）分別從若AP=OA，AP=OP與OA=OP去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及兩點間的距離公式．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．