Question

19．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與直線y=-x+6相交于第一象限A、B的兩點(diǎn)．如圖所示，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作x、y軸的垂線，線段AC、BD相交與P，給出以下結(jié)論：①OA=OB；②四邊形OCPD是正方形；③若k=5．則△ABP的面積是8；④P點(diǎn)一定在直線y=x上，其中正確命題的個(gè)數(shù)是幾個(gè)（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①先求出直線y=-x+6與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得出△OEF是等腰直角三角形，故E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，再由反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故可得出y=x是線段AB的垂直平分線，由此即可得出結(jié)論；
②根據(jù)AM⊥y軸，BD⊥y軸，AC⊥x軸，BN⊥x軸可得出四邊形ACOM與四邊形BDON均是長(zhǎng)方形，根據(jù)OA=OB可知AC=BD，故OC=OD，由此可得出結(jié)論；
③設(shè)A（x，$\frac{5}{x}$），則B（$\frac{5}{x}$，x），P（x，x），再由點(diǎn)A在直線y=-x+6上，求出x的值即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由三角形的面積公式求解即可；
④根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知，OM=ON，再由AM⊥y軸，AC⊥x軸，BD⊥y軸，BN⊥x軸可知，四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形，由②知AM=BN，故OC=OD，所以AP=PB，所以點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以點(diǎn)P在直線y=x上．

解答 解：①∵令x=0，則y=6，令y=0，則x=6，
∴E（0，6），F(xiàn)（6，0），
∴E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴y=x是線段AB的垂直平分線，
∴OA=OB，故①正確；
②∵AM⊥y軸，BD⊥y軸，AC⊥x軸，BN⊥x軸，
∴四邊形ACOM與四邊形BDON均是長(zhǎng)方形．
∵OA=OB，A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴AC=BD，
∴OC=OD，
∴四邊形OCPD是正方形，故②正確；
③設(shè)A（x，$\frac{5}{x}$），則B（$\frac{5}{x}$，x），P（x，x），
∵點(diǎn)A在直線y=-x+6上，
∴-x+6=$\frac{5}{x}$，解得x₁=1，x₂=5，
∴A（1，5），B（5，1），
∴BP=AP=5-1=4，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AP=$\frac{1}{2}$×4×4=8，故③正確；
④∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴OM=ON，
∵AM⊥y軸，AC⊥x軸，BD⊥y軸，BN⊥x軸，
∴四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形，
∵由②知AM=BN，
∴OC=OD，
∴AP=PB，
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P在直線y=x上，故④正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、正方形的判定與性質(zhì)及關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．