Question

如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作

⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

（1）求證：PC是⊙O的切線.

（2）若AF=1，OA=，求PC的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）證明：連結(jié)OC，

∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。

∴∠FAC=∠FCA。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。

∵FA與⊙O相切，且AB是⊙O的直徑，∴FA⊥AB�！唷螰CO=∠FAO=90°。

又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線。

（2）∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°。

而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO �！�。

∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA 。

設(shè)PA=x，則PC=

在Rt△PCO中，由勾股定理得， ，解得：。

∴PC。

【解析】切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。

【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠FAO=90°，然后即可證明結(jié)論。

 （2）先證明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，從而也可得出PC得長(zhǎng)。