Question

在折紙這種傳統(tǒng)手工藝術(shù)中，蘊含許多數(shù)學(xué)思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形．把一張正方形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開．
（1）猜想四邊形ABCD是什么四邊形；
（2）請證明你所得到的數(shù)學(xué)猜想．

Answer 1

解：（1）四邊形ABCD是菱形；

（2）∵△AMG沿AG折疊，使AM落在AC上，
∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，
同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，
∵四邊形AMCN是正方形，
∴∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD為菱形．
分析：（1）猜想四邊形ABCD是菱形；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠MAD=∠DAC=∠MAC，∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，所以∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，于是可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，且DA=DC，然后根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABCD為菱形．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性質(zhì)．