Question

已知直角梯形ABCD中，∠DAB=∠B=90°，AD=4，DC=BC=8，將四邊形ABCD折疊，使A與C重合，HK為折痕，則CH=________，AK=________．

Answer 1

7    5.6
分析：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，可得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出BE=AD=4，然后求出CE=4，再根據(jù)直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠CDE=30°，再根據(jù)勾股定理列式求出DE，即可得到AB，設(shè)CH=x，根據(jù)翻折變換可得AH=CH=x，表示出BH=8-x，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出x；過點(diǎn)K作KF⊥AD的延長(zhǎng)線于F，得到∠DKF=∠CDE=30°，設(shè)KD=2y，表示出DF=y，KF=y，再表示出AK、AF，然后在Rt△AKF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出y，從而得解．
解答：如圖，過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，
∵∠DAB=∠B=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD=4，
∵BC=8，
∴CE=BC-BE=8-4=4，
又∵CD=8，
∴CD=2CE，
∴∠CDE=30°，
∴DE===4，
∴AB=DE=4，
設(shè)CH=x，根據(jù)翻折變換可得AH=CH=x，
∴BH=8-x，
在Rt△ABH中，AB²+BH²=AH²，
即（4）²+（8-x）²=x²，
x=7，
即CH=7；
過點(diǎn)K作KF⊥AD的延長(zhǎng)線于F，則DE∥KF，
∴∠DKF=∠CDE=30°，
設(shè)KD=2y，則DF=KD=y，KF===y，
∴AF=AD+DF=4+y，CK=DC-KD=8-2y，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，AK=CK=8-2y，
在Rt△AFK中，AF²+KF²=AK²，
即（4+y）²+（y）²=（8-2y）²，
解得y=1.2，
∴AK=8-2×1.2=8-2.4=5.6．
故答案為：7；5.6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，主要利用了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，本題難點(diǎn)在于作輔助線，構(gòu)造出直角三角形，并把相應(yīng)的線段轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵．