Question

（1）若方程x²+2px-q=0（p，q是實數(shù)）沒有實數(shù)根，求證：；
（2）試寫出上述命題的逆命題；
（3）判斷（2）中的逆命題是否正確．若正確請加以證明，若不正確，請舉一反例說明．

Answer 1

（1）證明：∵方程x²+2px-q=0（p，q是實數(shù)）沒有實數(shù)根，
∴y=x²+2px-q的函數(shù)值恒大于0，
所以當x=-時，y=x²+2px-q＞0，即-p-q＞0，
所以．
（2）（1）的逆命題為：若（p，q是實數(shù)），求證：方程x²+2px-q=0沒有實數(shù)根．
（3）（2）中的逆命題不正確．
如：當p=q=0，滿足，但原方程為x²=0有兩個相等的實數(shù)根，所以（2）中的逆命題不正確．
分析：（1）方程x²+2px-q=0（p，q是實數(shù)）沒有實數(shù)根，把它理解為y=x²+2px-q的函數(shù)值恒大于0，則當x=-時，y=x²+2px-q＞0，即-p-q＞0，即可證明；
（2）交換題設與結(jié)論，寫出逆命題；
（3）通過設p=q=0，說明（2）中的逆命題不正確．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）與二次函數(shù)的關系，也考查了逆命題與原命題的關系和通過舉反例說明問題的方法．