Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：
（1）BG=CF；
（2）DG=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）首先證出∠CAF=∠BCG，得到△BCG≌△CAF，由三角形性質(zhì)得出BG=CF；
（2）連接AG，證明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再證出∠D=∠GAD，得出AG=DG，從而證出DG=CF．

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC
∴△BCG≌△CAF，
∴BG=CF；
（2）連接AG，如圖所示：
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
∴∠D=90°-∠GBA=90°-∠GAB=∠GAD，
∴AG=DG．
∵由（1）BG=CF，
∴DG=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．