Question

【題目】對于給定的兩個函數(shù)和，我們把叫做這個兩個函數(shù)的積函數(shù)，把直線和叫做拋物線的母線．

（1）直接寫出函數(shù)和的積函數(shù)；

（2）點在(1)中的拋物線上，過點垂直于軸的直線分別交此拋物線的母線于兩點（點不重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為，求時的值；

（3）已知函數(shù)和．

①當(dāng)它們的積函數(shù)自變量的取值范圍是，且當(dāng)時，這個積函數(shù)的最大值是8，求的值以及這個積函數(shù)的最小值；

②當(dāng)它們的積函數(shù)自變量的取值范圍是時，直接寫出這個積函數(shù)的圖象在變化過程中最高點的縱坐標(biāo)與之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①3，-7，②當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，

【解析】

（1）利用積函數(shù)的定義直接得出結(jié)論，最后令y=0，解方程即可求出與x軸的交點坐標(biāo)；

（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，進而表示出點M，N的坐標(biāo)，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出結(jié)論；

（3）①先確定出積函數(shù)，利用此函數(shù)的增減性，判斷出x=2時，y最大求出n，最后將x=-1代入拋物線解析式即可確定出最小值；

②分三種情況，自變量范圍內(nèi)的圖象全在對稱軸左側(cè)，或右側(cè)或?qū)ΨQ軸介于自變量的分之內(nèi)，最后用函數(shù)增減性，代入即可得出結(jié)論．

解：（1）∵函數(shù)和，

∵函數(shù)和的積函數(shù)為.

（2）由（1）知，拋物線解析式為，設(shè)，

∵函數(shù)和，

∴，

∴

，

∵

∴，

∴ （此時點和重合，舍去）或；

（3）①∵函數(shù)和，

∴函數(shù)為和積函數(shù)為，

∵積函數(shù)自變量的取值范圍是，且當(dāng)時，這個積函數(shù)的最大值是8，

∴當(dāng)時，，

∴，

∴積函數(shù)的解析式為，

當(dāng)時，.

②由①知，積函數(shù)的解析式為，

∴此積函數(shù)的對稱軸為直線，且對稱軸左側(cè)隨的增大而增大，對稱軸右側(cè)隨增大而減小，

∵積函數(shù)自變量的取值范圍是，

Ⅰ.當(dāng)時，即，

此時，當(dāng)時，最高點的縱坐標(biāo)與之間的函數(shù)關(guān)系式

Ⅱ.當(dāng)時，即，

此時，當(dāng)時，最高點的縱坐標(biāo)與之間的函數(shù)關(guān)系式；

Ⅲ.當(dāng)時，即，

此時，當(dāng)時，最高點的縱坐標(biāo)與之間的函數(shù)關(guān)系式.