Question

小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：

問(wèn)題情境：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：S四邊形ABCD=S△ABF（S表示面積）

問(wèn)題遷移：如圖2：在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P．過(guò)點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N．小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)直線MN在什么位置時(shí)，△MON的面積最小，并說(shuō)明理由．

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部門(mén)計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過(guò)防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)△MON．若測(cè)得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，試求△MON的面積．（結(jié)果精確到0.1km2）（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）

拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6，0）（6，3）（，）、（4、2），過(guò)點(diǎn)p的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值．

 

Answer 1

問(wèn)題情境：證明見(jiàn)解析；問(wèn)題遷移：當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小；實(shí)際應(yīng)用：10.3km2．拓展延伸：10.

【解析】

試題分析：問(wèn)題情境：根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出結(jié)論；

問(wèn)題遷移：根據(jù)問(wèn)題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，過(guò)點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；

實(shí)際運(yùn)用：如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1，M1，再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論；

拓展延伸：分情況討論當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長(zhǎng)OC、AB交于點(diǎn)D，由條件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面積，再根據(jù)問(wèn)題遷移的結(jié)論就可以求出最大值；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N，延長(zhǎng)CB交x軸于T，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標(biāo)，從而求出△OCT的面積，再由問(wèn)題遷移的結(jié)論可以求出最大值，通過(guò)比較就可以求出結(jié)論．

問(wèn)題情境：∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．

∵點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，

∴DE=CE．

∵在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴S△ADE=S△FCE，

∴S四邊形ABCE+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE，

即S四邊形ABCD=S△ABF；

問(wèn)題遷移：當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，如圖2，

過(guò)點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，設(shè)PF＜PE，過(guò)點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G，

由問(wèn)題情境可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S四邊形MOFG=S△MON．

∵S四邊形MOFG＜S△EOF，

∴S△MON＜S△EOF，

∴當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最��；

實(shí)際運(yùn)用：如圖3，

作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1，M1，

在Rt△OPP1中，

∵∠POB=30°，

∴PP1=OP=2，OP1=2．

由問(wèn)題遷移的結(jié)論知道，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MON的面積最小，

∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．

在Rt△OMM1中，

tan∠AOB=，

2.25=，

∴OM1=，

∴M1P1=P1N=2-，

∴ON=OP1+P1N=2+2-=4-．

∴S△MON=ON•MM1=（4-）×4=8-≈10.3km2．

拓展延伸：①如圖4，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長(zhǎng)OC、AB交于點(diǎn)D，

∵C（，），

∴∠AOC=45°，

∴AO=AD．

∵A（6，0），

∴OA=6，

∴AD=6．

∴S△AOD=×6×6=18，

由問(wèn)題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PN=PM時(shí)，△MND的面積最小，

∴四邊形ANMO的面積最大．

作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分別為P1，M1，

∴M1P1=P1A=2，

∴OM1=M1M=2，

∴MN∥OA，

∴S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形ANMM1=×2×2+2×4=10

②如圖5，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N，延長(zhǎng)CB交x軸于T，

∵C（，）、B（6，3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴y=-x+9，

當(dāng)y=0時(shí)，x=9，

∴T（9，0）．

∴S△OCT=××9=．

由問(wèn)題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MNT的面積最小，

∴四邊形CMNO的面積最大．

∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，

∴4=-x+9，

∴x=5，

∴M（5，4），

∴OM1=5．

∵P（4，2），

∴OP1=4，

∴P1M1=NP1=1，

∴ON=3，

∴NT=6．

∴S△MNT=×4×6=12，

∴S四邊形OCMN=-12=＜10．

∴綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．