Question

在平面直角坐標系中，A(－1)，B(3，0)．

(1)若拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點(0，－3)，求此拋物線的頂點坐標；

(2)如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點的拋物線如果與y軸負半軸交于點C，M為拋物線的頂點，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請你求出這個比值；

(3)若對稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸正車軸交于點E，F(xiàn)，與y軸交干點C，過C作CP∥x軸交l于點P，M為此拋物線的頂點．若四邊形PEMF是有一內角為的菱形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設y＝a(x＋1)(x－3)，則－3＝－3a，∴a＝1，∴y＝x2－2x－3，∴頂點坐標為(1，－4); 　　(2)由題意可設y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3a)，M(1，－4a)，∴S△ABC＝×4×｜－3a｜＝6｜a｜，而a＞0，∴S△ABC＝6a．作MD⊥x軸，垂足為D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋(3a＋4a)·1－·2·4a＝a＋a－4a＝a，∴S△ACM∶S△ABC＝1∶6; 　　(3)①當拋物線開口向上時，由題意可設y＝a(x－1)2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，由菱形可知｜a＋k｜＝｜k｜，a＋k＞0，k＜0，∴y＝－，∴y＝ax2－2ax＋，∴｜EF｜＝．記l與x軸的交點為D，若∠PEM＝，則∠FEM＝，MD＝DE·tan＝，∴k＝－，a＝，∴解析式為y＝x2－x＋．若∠PEM＝，則∠FEM＝，MD＝DE·tan＝，∴k＝－，a＝，∴解析式為y＝x2－2x＋．②當拋物線開口向下時，同理可得y＝－x2＋x－，y＝－x2＋2x－．