Question

△ABC中，AB⊥BC，AB=BC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)F，連接BF，過點(diǎn)B作BG⊥BF交AE于G．
（1）求證：△ABG≌△CBF；
（2）若E為BC中點(diǎn)，求證：CF+EF=EG．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明∠BAG=∠BCF，∠ABG=∠CBF；即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；證明BH=CF，HE=EF；此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明GH=CF，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵∠ABC=∠AFC=90°，
∴A、B、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BAG=∠BCF；
∵AB⊥BC，BG⊥BF，
∴∠ABC=∠GBF，
∴∠ABG=∠CBF；
在△ABG與△CBF中，

∠ABG=∠CBF AB=BC ∠BAG=∠BCF

，
∴△ABG≌△CBF（ASA）．
（2）如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AF；
∵CF⊥AE，
∴BH∥CF，△BHE∽△CFE，
∴BH：CF=GE：EF=BE：CE，
∵BE=CE，
∴BH=CF，HE=EF；
∵△ABG≌△CBF，
∴BG=BF，
∴GH=HF，
∴BH=

1

2

GF=GH，
∴GH=CF，而GE=EF，
∴CF+EF=EG．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；牢固掌握定理是靈活運(yùn)用的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．