Question

7．【問(wèn)題情境】
數(shù)學(xué)課上，李老師提出了如下問(wèn)題：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC邊的直線交于點(diǎn)E．請(qǐng)判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系．
小穎在小組合作交流中，發(fā)表自己的意見(jiàn)：“我們不妨從特殊情況下獲得解決問(wèn)題的思路，然后類(lèi)比到一般情況．”小穎的想法獲得了其他成員一致的贊成．
【問(wèn)題解決】
如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，判斷BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系．
解法如下：過(guò)D點(diǎn)作AC的平行線交BC于F，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)題得到解決，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：BD=AE．
【類(lèi)比探究】
（2）如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（3）如圖3，當(dāng)α為任意銳角時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：BD=2cosα•AE．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

分析 【問(wèn)題情境】可利用四點(diǎn)共圓證角相等，然后證△BDC∽△AEC相似可以確定BD=2cosα•AE．
【問(wèn)題解決】當(dāng)α=60°時(shí)，△ABC、△DCE是等邊三角形，EC=DC，AC=BC，根據(jù)等量減等量求得∠BCD=∠ACE，可得△BDC≌△ACE，答案可證．
【類(lèi)比探究】（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F，可證得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=$\sqrt{2}$BF，再證明△ADE∽△FCD，得$\frac{AE}{DF}=\frac{AD}{CF}$，由DF∥AC，得$\frac{BD}{BF}=\frac{AD}{CF}$．得出$\frac{AE}{BD}=\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即可得出結(jié)論．
（3）可利用四點(diǎn)共圓證角相等，然后證△BDC∽△AEC相似可以確定BD=2cosα•AE．

解答 【問(wèn)題情境】解：BD=2cosα•AE；理由如下：∵AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴∠EAC=∠EDC=α，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠ABC+∠BCD，∠ABC=∠EDC=α，
∴∠ADE=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD
∵∠ABC=∠EAC=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=2cosα，∴BD=2cosα•AE．
故答案為BD=2cosα•AE．

【問(wèn)題解決】解：當(dāng)α=60°時(shí)，△ABC、△DCE是等邊三角形，
∴EC=DC，AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
故答案為：BD=AE．

【類(lèi)比探究】解：（2）BD=$\sqrt{2}$AE；理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AD}{CF}$．
∵DF∥AC，
∴$\frac{BD}{BF}=\frac{AD}{CF}$．
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$AE，
故答案為：BD=$\sqrt{2}$AE．

（3）補(bǔ)全圖形如圖3，∵AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴∠EAC=∠EDC=α，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠ABC+∠BCD，∠ABC=∠EDC=α，
∴∠ADE=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD
∵∠ABC=∠EAC=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=2cosα，∴BD=2cosα•AE．
故答案為：BD=2cosα•AE．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在解答本題時(shí)要注意類(lèi)比思想的應(yīng)用，正確繪圖也是解題的關(guān)鍵．