Question

 如圖，在梯形ABCD中，AD // BC，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM、BM．

求：（1）△ABM的面積；

       （2）∠MBC的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）8（2）

【解析】（1）延長AM交BC的延長線于點(diǎn)N，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，

∵點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，

∴DM=CM，

∴△ADM≌△NCM（AAS），

∴CN=AD=3，AM=MN=AN，

∴BN=BC+CN=5+3=8，

∵∠ABC=90°，

∴S_△ABN=×AB•BN=×4×8=16，

∴S_△ABM=S_△ABN=8；

∴△ABM的面積為8；………………………………4分

（2）過點(diǎn)M作MK⊥BC，

∵∠ABC=90°，

∴MK∥AB，

∴△NMK∽△NAB，

∴，

∴MK=AB=2，

在Rt△ABN中，AN===4，

∴BM=AN=2，

在Rt△BKM中，sin∠MBC==．

∴∠MBC的正弦值為．………………………………4分

（1）首先作輔助線：延長AM交BC的延長線于點(diǎn)N，然后利用梯形的性質(zhì)，即可證得△ADM≌△NCM（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得CN的長，即可求得Rt△ABN的面積，則可求得△ABM的面積；

（2）作輔助線：過點(diǎn)M作MK⊥BC，構(gòu)造Rt△BKM，即可求得∠MBC的正弦值．