Question

如圖，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的兩側(cè)，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN，延長MP交CN于點E．
（1）求證：△BPM≌△CPE；
（2）求證：PM=PN．

Answer 1

分析：（1）由BM與CN都與直線a垂直，得到一對直角相等，即一對內(nèi)錯角相等，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得到BM與CN平行，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，又P為BC的中點，得到BP=CP，再由一對對頂角相等，利用ASA即可得到三角形BPM與三角形CPE全等，得證；
（2）由（1）的兩三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到PM=PE，在直角三角形MNE中，由P為斜邊ME的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出NP為ME的一半，即可得到PM=PN，得證．

解答：證明：（1）∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC邊中點，
∴BP=CP，
在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠ECP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE（ASA）；
（2）∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE=

1

2

ME，
在Rt△MNE中，
∵PM=PE，即NP為斜邊ME上的中線，
∴PN=

1

2

ME，又PM=

1

2

ME，
則PM=PN．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，是一道證明題，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．