Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y₁=x與直線y₂=-x+4相交于點A，直線y₂=-x+4交x軸于點B，動點M在線段OB上以每秒1個單位長度的速度從點B向點O移動，同時動點N以每秒2個單位長度的速度沿折線O-A-B移動，當一個點停止運動時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）是否存在O、A、M、N為頂點的四邊形為等腰梯形的情形？若存在，求出直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在直線MN與△OAB中的一條邊垂直的情形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得：，
解得：，
故A的坐標是（2，2），
在y₂=-x+4中令y=0，解得：x=4，故B的坐標是（4，0）；

（2）∵A的坐標是（2，2），B的坐標是（4，0），
∴OA==4，AB==4，
∴OA=AB=OB．即△OAB是等邊三角形．
作AD⊥OB于點D，則D的坐標是（2，0），AD=2．OD=BD=2．
當N在邊AB上，且MN∥OA時，在O、A、M、N為頂點的四邊形是等腰梯形．
設(shè)經(jīng)過t秒變成如圖所示，M的坐標是（4-t，0），AN=2t-4，
作NE⊥AD于點E．
則在直角△ANE中，∠NAE=30°，
則NE=AN=t-2，AE=AN•cos30°=（2t-4）=t-2．
故N的橫坐標是2+（t-2）=t，縱坐標是2-（t-2）=4-t．
N的坐標是（t，4-t）．
∵MN∥OA，
∴=．
解得：t=．
則M的坐標是（，0）．設(shè)直線MN的解析式是y=x+b，則×+b=0，解得：b=-．
故MN的解析式是：y=x-；

（3）當0≤t＜2時，M在BD上，N在OA上，則一定有MN⊥OA，此時，ON=OM，即2t=（4-t），解得：t=；
當t=2時，M在D點，N在A點，此時有MN⊥OB．
當2＜t≤4時，M在OD上，N在AB上，若垂直，一定是MN⊥AB，則NB=MB，即8-2t=t，解得：t=．
總之，t的值是：或2或．
分析：（1）解兩直線解析式組成的方程組即可求得A的坐標，在第二條直線的解析式中，令y=0即可求得B的橫坐標，從而求得B的坐標；
（2）易證△OAB是等邊三角形，利用t表示出M和N的坐標，根據(jù)MN∥OA，兩直線的斜率相等求得t的值，利用待定系數(shù)法求得MN的解析式；
（3）分0≤t＜2和t=2以及2＜t≤4三種情況討論，根據(jù)△ABC是等邊三角形可以得到MN與△OAB的邊垂直時構(gòu)成的三角三角形的一個角一定是30°，根據(jù)30°角的所對的直角邊等于斜邊的一半，即可列出方程求得t的值．
點評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰梯形的判定以及直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確分類討論是關(guān)鍵．