Question

已知一個(gè)面積為S且邊長(zhǎng)為1的正六邊形，其六條最短的對(duì)角線兩兩相交的交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為A的小正六邊形的頂點(diǎn)，則

A

S

=（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：

分析：如圖，作輔助線，首先證明△OAB與△OAC均為等邊三角形，設(shè)便長(zhǎng)為λ；借助有關(guān)定理分別用關(guān)于λ的代數(shù)式，求出△OMN、△OAB的面積，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接OA、OB、OC；OM、ON；
由題意得：∠AOB=∠AOC=

360°

6

=60°，而OA=OB=OC，
∴△OAB與△OAC均為等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為λ；
∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，
∴OA⊥BC，OP=AP=0.5λ；
∵OM=ON，且∠MON=60°，
∴MP=NP，∠MOP=30°；
tan30°=

MP

OP

，MP=

3

6

λ，MN=

3

3

λ；
∴S△OMN=

1

2

MN•OP=

3 λ2

12

；
同理可求S△OAB=

3

4

λ2，
∴

A

S

=

6S△OMN

6S△OAB

=

S△OMN

S△OAB

=

1

3

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．